Rabu, 11 April 2012

PemBuktian Metode Simpson


1.    PEMBUKTIAN Cara Simpson I


Bidang Lengkung ABCC’A’ terdiri dari :
Luas trapesium ACC’A’ dan Luas tembereng parabola ABCF.
Luas trapesium ACC’A’ adalah :

Luas ACC’A’   = ½.2h (y0 + y2)
= h (y0 + y2)..................... .(I)

Luas ABCF     = 2/3 luas jajaran genjang ADEC
= 2/3 ECA’C’
= 2/3 BF.2h
= 4/3h (BB’ – FB’)
= 4/3h (y1 – ½ (y0 + y2)
= 4/3h (y1 – 1/2y0 - 1/2y2)...............(II)

I. Luas ACC’A’ = h (y0 + y2)
= 1/3h (3y0 + 3y2)
II. Luas ABCF = 4/3h (y1 – 1/2y0 – 1/2y2).
= 1/3h (4y1 - 2y0 - 2y2) +
Luas ABCC’A              = 1/3h (3y0 - 2y0 + 4y1 + 3y2 - 2y2)
Jadi Luas ABCC’A’     = 1/3h (y0 + 4y1 + y2)


Angka didepan tiap-tiap ordinat disebut juga faktor luas ( FL). Angka  didepan h disebut angka perkalian (k), maka faktor luas untuk 2 bagian
tadi menurut Simpson I :
FL Simpson I = 1 4 1
k = 1/3 ( Menurut Simpson I )

Berdasarkan pendapat diatas, maka untuk menghitung luas sebuah  bidang lengkung adalah sebagai berikut :
a.    Bagilah panjang bidang menjadi beberapa bagian yang jumlahnya  genap, masing-masing sepanjang h ( Lihat gambar diatas ).
b.    Ambilah dua dari kiri dan pada tiap-tiap 2 bagian berilah nomor secara berurutan dimulai dari kiri kekanan yaitu nomor I, II, III dan  seterusnya.
c.    Untuk tiap 2 bagian masukkan rumus pokok dari simpson I.yaitu :
1/3k (1, 4, 1).
d.    Jumlahkan semua rumus pokok sebagai berikut :

I. = 1/3h (y0 + 4y1 + y2)
II. = 1/3h y2 + 4y3 + y4
III = 1/3h (y4 + 4y5 + y6)

Luas Simpson I = 1/3h (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + y6)
Dengan demikian terbukti bahwa faktor luas untuk rumus simpson
adalah :
FL simpson I = 1,4,2,4,2,4,2,4,1
Pada umumnya rumus simpson I juga dilaksanakan dalam daftar  perhitungan. Adapun cara menyusunnya adalah sebagai berikut :
FL I = 1 4 1
FL II = 1 4 1
FLIII = 1 4 1
FL = 1 4 2 4 2 4 1
Maka Rumus dari Simpson I adalah
Luas simpson I = k.h. ∑ , dimana k = 1/3 dan semua angka yang dipakai dalam perhitungan hendaklah dibuat desimal.


2.    Cara Simpson III.

Sebuah bidang lengkung seperti pada gambar diatas,dimana bagian bidang sebelah kiri dapat dihitung dengan menggunakan  rumus simpson III ( delapan lima kurang satu ).
Untuk ini maka bidang lengkung tadi dibagi menjadi sebuah trapesium dan sebuah parabola.

Luas AFB’A’    = ½ h ( y0 + FB ).
= ½ h ( y0 + ½ y0 + ½ y2 ).
= 1/12 h ( 6y0 + 3y0 + 3y2 ).
= 1/12 h ( 9y0 + 3y2 )......................( I ).

Luas ABF        = 2/3 h .BF
= 2/3 h ( y1 – B’F ).
= 2/3 h ( y1 – ½ ( y0 + y2 ).
= 2/3 h ( y1 – ½ y0 – ½ y2 ).
= 1/3 h.2 ( y1 - ½ y0 – ½ y2 ).
= 1/12h ( 8y1 – 4y0 – 4y2 ).............( II ).



Luas I + II        = luas ABB’A’ = 1/12 h ( 5y0 + 8y1 – y2 ).

Maka faktor luas dari rumus ini adalah :
FL Simpson III = 5 + 8 – 1 Sedangkan k = 1/12.

Dengan demikian tadi ternyata bahwa rumus ini mampu  menulis luas suatu bidang lengkung tanpa mengadakan pembagian.  Sebaliknya diperlukan ordinat bantuan ( y2 ) yang jaraknya juga  sejauh dari ordinat akhirnya ( y1 ). Tanpa adanya bantuan dari ordinat yang lain itu, rumus tadi tidak dapat digunakan.

3.    Cara Simpson II


Rumus simpsons II merupakan gabungan dari rumus Simpsons I dan
Simpson III sehingga dapat diuraikan sebagai berikut :






Luas I              = 1/12 h ( 5y0 + 8y1 – y2............... ( I ).
Luas I + II        = 1/3 h ( y0 + 4y1 + y2 ).
= 1/12 h ( 4y0 + 16y1 + 4y2..........( II ).
Luas II + III      = 1/3 h ( y1 + 4y2 + y3 ).
= 1/12 h ( 4y1 + 16y2 + 4y3..........( III ).
Luas III            = 1/12 h ( 5y3 + 8y2 – y1..............( IV ).     +
( I + II + III )     = 1/12 h ( 9y0 + 27y1 + 27y2 + 9y3 )
= 9/12 h ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3 ).
= ¾ h ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3 ).
Maka :
Luas I + II + III = ¾ h ( y0 – 3y1 – 3y2 – y3 ).
2
Jadi luas I + II + III = 3/8 h ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3 ).
Disini ternyata bahwa : Fl simpson II = 1 3 3 1.
Sedangkan angka perbanyakan adalah k = 3/8.
Dengan kenyataan seperti diatas dapatlah dihitung luas seluruh
bidang lengkung ABBA yaitu sebagai berikut :
Luas I + II + III = 3/8 ( y0 + 3y1 + 3y2 + y3 ).
Luas IV + V + VI = 3/8 ( y3 + 3y4 + 3y5 + y6 ).+

Luas ABBA = 3/8 h ( y0 + 3y1 + 3y2 + 2y3 + 3y4 + 3y5 + y6 ).
Dengan demikian bahwa faktor luas dari rumus Simpsons II adalah :
Fl simpson II = 1 3 3 2 3 3 2.........................3 3 1.
Pada umumnya untuk melaksanakan rumus ini juga dipakai
sebuah daftar perhitungan yang bentuknya serupa dengan daftar
perhitungan dari Trapesium, dengan catatan sebagai berikut :
a.         Bagilah seluruh panjang dari bidang lengkung menjadi
beberapa bagian masing – masing sepanjang H dan
jumlahnya merupakan kelipatan dari 3.
b.         Berilah pada tiap – tiap tiga ( 3 ) bagian nomor romawi yang
urut yang dimulai dari kiri. Jadi I, II, III, IV, V, dan seterusnya.
c. T      entukan dulu susunan faktor luasnya, berdasarkan : 1, 3, 3,1.